Método de Newton-Raphson con Visual Basic

Que tal programadores hoy les presento un tema de ingeniería propio de mi libro, que aun tengo en redacción.

Texto tomado de wikipedia

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x₀ y definimos para cada número natural n

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Donde f ' denota la derivada de f.

Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.

Estimación del Error

Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si

\alpha

es raíz, entonces:

|x_{k+1}-\alpha|\leq C|x_k-\alpha|^2

para una cierta constante

C

. Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error:

Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:

E = \frac{|x_{k+1}-x_k|}{|x_{k+1}|}

Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente.

Ejemplo

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x³. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x³.

Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x². Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x³ > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x₀ = 0,5

\begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0,5 - \frac{\cos(0,5) - 0,5^3}{-\sin(0,5) - 3 \times 0,5^2} & = & 1,112141637097 \\ x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & & \vdots & = & \underline{0},909672693736 \\ x_3 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,86}7263818209 \\ x_4 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,86547}7135298 \\ x_5 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,8654740331}11 \\ x_6 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,865474033102} \end{matrix}

Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x₆ es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x₃) a 5 y 10, ilustrando la convergencia cuadrática.

Implementación en Visual Basic

Public Class Form1
    Dim iter, imax As Integer 'Declaración de variables  
    Dim xrold, xr, xi, er, dfxi, fxi, x0, tol As Double
    Function NewtonR(ByVal xi) As Double
        imax = 100
        iter = 1
        tol = 0.00001
        Do While iter <= imax
            xrold = xr
            fxi = Math.Cos(xi) - (xi ^ 3)
            dfxi = -Math.Sin(xi) - (3 * (xi ^ 2))
            If dfxi = 0 Then
                MsgBox("La derivada f'(x)=0, no se puede realizar el calculo", MsgBoxStyle.Critical)
                Exit Do
            End If
            xr = xi - (fxi / dfxi)
            If xr <> 0 Then
                er = Math.Abs((xr - xrold) / xr) '* 100
            End If
            xi = xr 'Actualiza xi 
            Dim lvi As ListViewItem = Me.ListView1.Items.Add(iter)
            lvi.SubItems.Add(xr) 'Impresión de resultados 
            lvi.SubItems.Add(er)
            lvi.SubItems.Add(fxi)
            lvi.SubItems.Add(dfxi)
            iter = iter + 1
            If er <= tol Then
                Exit Do
            End If
            If Not er <= tol And iter > imax Then
                MsgBox("El metodo fracaso despues de  " & iter & "  iteracion(es)", MsgBoxStyle.Critical)
            End If
        Loop
        NewtonR = xr
    End Function
    Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click
        x0 = 0.5
        Call NewtonR(x0)
    End Sub
End Class

Y es todo. Nos vemos en otra entrega!